¿Es la regla de los tercios una chapuza de los fotógrafos?

Bueno, en estos días de aburrimiento a uno se le ocurren cosas un poco raras y se pone filosófico.
Así que voy a compartirlas con vosotros a ver si alguno está también en vena filosófica.
(He de decir que no soy ningún experto, así que, a pesar de mis esfuerzos en ser riguroso, algunas de las cosas que digo pueden no ser del todo correctas)

Todos hemos oído hablar de la regla de los tercios, que si no lo pongas centrado, pónlo en el tercio, que si ese sujeto mejor en el tercio…

Luego llega alguien del mundo del arte y te suelta que lo que hay que usar es la razón áurea, que es lo que se utiliza en arte y en el mundo de la construcción (entonces tus composiciones de amateur dejan de estar tan centradas como se decía, pues la posición del cruce de las líneas en proporción áurea está significativamente más en el centro que la regla de los tercios).

Te argumentan que la relación de las proporciones de los sensores (3:2 = 1,5) y la regla de los tercios no es más que una aproximación del excelso número áureo ( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,62 ).
Vamos que en opinión de esos entendidos, los fotógrafos (o al menos los primeros fotógrafos) eran unos probos aspirantes a la perfección utilizada en arquitectura y arte.

¿Pero es esto realmente así? ¿Eran los primeros fotógrafos unos chapuceros incapaces de aproximar mejor el número áureo? (digo yo que aunque sólo sea llegar a 1,6 en vez de 1,5 sí que hubieran llegado).

La verdad es que yo no lo sé ni tengo pruebas en uno u otro sentido.

Pero se me ocurre que esto no es en realidad así.

El número áureo (\phi) fue descubierto para occidente por Fibonacci allá por el siglo XIII estudiando algo tan prosáico como la cría de conejos (en realidad parece que en la India ya lo conocían muchos siglos antes).
Ése número es una relación que se da en muchas cosas en la naturaleza como las plantas, etc.
El número áureo ya fue descrito también por Euclides en otro contexto geométrico.

Por ello los artistas renacentistas lo introdujeron como número mágico en las proporciones de sus obras de arte (hombre del Vitrubio de Leonardo da Vinci).

Pero los primeros filósofos griegos (pitagóricos y socráticos) no conocían el número áureo.
De hecho abjuraban de los números irracionales, para ellos no existían los número irracionales en el mundo de la perfección, las proporciones perfectas eran número racionales, expresables como un cociente de dos número enteros.

Sócrates parece que pudo sospechar la existencia de números irracionales, pero se empecinó en buscar fracciones puras (cada vez más complejas) que representaran las proporciones de las figuras geométricas ideales.
Dada su fuerte influencia pitagórica para él la perfección tenía que ser expresada por números racionales y a ser posible sencillos.

Para Pitágoras 3:2 era una fracción mágica.
Con ése número se consigue crear en música las escalas de quintas y a partir de ellas las terceras.
Dos notas separadas una quinta pitagórica suenan armoniosas entre sí, lo más armonioso que pueden sonar dos notas diferentes (salvo la misma nota en dos escalas diferentes).
Siguiendo a esas están las terceras.
A partir de ellas se crean las 7 notas de la escala pitagórica que aún usamos en la actualidad en la música occidental (con algunas modificaciones en su afinación y con la introducción de los sostenidos y bemoles para dar un total de doce notas diferentes).

Ello se debe a que una cuerda si la dividimos en dos partes da dos notas en las cuáles la nota principal tiene el doble de frecuencia que la de la cuerda original.
Como una cuerda no vibra sólo en una frecuencia si no en esa frecuencia y todos sus múltiplos enteros (conocidos como armónicos) ambas cuerdas compartirán prácticamente todos sus armónicos (vibraran en las mismas frecuencias) salvo que a la cuerda de mitad de longitud le faltará la frecuencia más grave a la que vibra la cuerda larga. Con instrumentos de viento ocurre algo similar.

Por tanto esas dos notas nos suenan muy parecido, sólo que una más alta y otra más baja, son consideradas la misma nota.

Si en vez de dividir la longitud por dos lo dividimos dividimos la cuerda en tres y tocamos la de longitud 2/3 la frecuencia principal generada será de 2/3 de la de longitud original.
No compartirán todos los armónicos pero sí muchos, son las siguientes notas en compartir la maría de sus armónicos.

Por tanto para Pitágoras 3:2 era una fracción mágica en la música y también en otras artes.

Creo yo pues que nuestra regla de los tercios en fotografía se basa más en el concepto de proporción perfecta de Pitágoras que en el hecho de tratar de imitar el número áureo del hombre de Vitrubio.

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A lectores con prisa, recomiendo saltarse todo hasta el último párrafo (pero mejor si no me hacen caso)

Creo que algo puedo aportar, pues el tema me toca cierta fibra sensible. A lo largo de mi primera formación artística llegué a conocer distintas fórmulas y reglas compositivas, a las cuales, la verdad, no se hacía demasiado caso. Por el contrario, era constante la alusión a los diversos ejemplos patentes a lo largo de la historia del arte, los cuales, se suponía, debieran ser capaces de formar al estudiante para construir un cierto instinto que le facilitara el planteamiento de sus obras. Posteriormente, profundicé sobre el análisis de las reglas de composición y otros supuestos, paradigmas, constructos y demás parafernalia. En especial, trabajé sobre cuestiones de percepción y psicofísica.
Lo cierto es que no he encontrado nada, absolutamente nada, que confirme la validez de cualquier regla basada en la fisiología humana, y aún menos si se pretende que sean de validez universal y transcultural. Ello incluye fractales, presunciones de la Bauhaus y algunos modelos derivados de su apabullante presencia en la naturaleza. Cualquier arquetipo o hipótesis que se pueda plantear depende únicamente de factores culturales y, por tanto, solo es lícita en tanto y en cuanto sea comúnmente aceptada.
Solo conocí la regla de los tercios cuando llegué a la fotografía, nunca antes. Y no deja de ser una falacia aplicada de forma bastante irregular. Ocasionalmente he sido testigo de casos aberrantes defendidos como verdades absolutas; las evidencias pululan por Internet con total impunidad. En cuanto a la proporción áurea, también abundan las interpretaciones generosas y particularísimas, basadas en no se sabe bien qué.
En fin, insisto en la validez exclusivamente cultural. Si un número suficiente de individuos, sean fotógrafos o interesados, defiende en un momento dado el uso de una regla de composición determinada, la misma será válida mientras perdure esa situación… lo cual es muy poco probable en una mundo tan globalizado.
En mi opinión, ante una fotografía no debiéramos preguntarnos por si cumple o no las reglas que alguien haya citado en alguna ocasión, sino más bien, habremos de preocuparnos de si la composición funciona o no funciona, de acuerdo con la intención expresiva del autor. Y, ya puestos, de cómo podría contribuir mejor a sus propósitos.
Pues eso.

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Esta conversación le hubiera encantado al compañero @Almaro, pero ya no se le ve por aquí. Yo creo que hay un error de concepto desde el nombre, eso de “regla”, como si fuera de obligado cumplimiento y no realizarlo de esa manera fuera “romper una norma”, algo que si lo haces cuando eres primerizo te dicen que está mal, pero si lo hace gente con experiencia se dice que “las reglas están para romperlas”.
Yo no me quiero creer más listo que nadie porque realmente llevo muy poco tiempo haciendo fotos, pero me parece que la supuesta “regla” de los tercios puede terminar encorsetando mucho la expresión fotográfica. Bueno, igual que las supuestas “reglas” en referencia a los cortes en los márgenes, o ya metidos en el revelado, a que haya que haber, por obligación, un blanco y un negro puros. Son cosas que aprendes al principio, que te dicen y aceptas generalmente sin una argumentación clara, sólo porque lo dice alguien que lleva tiempo haciendo fotos y cuyas fotografías te gustan, y piensas que será porque cumplen esas reglas. Y no, suelen gustarte porque tienen algo que te inspira, te conmueve.
Como ha dicho el compañero @Jasu, más importante sería preguntarse si la composición, en general, funciona o no, esto es, si responde al mensaje que se ha querido mandar, más allá de si tal cosa está colocada en este punto, o el horizonte lo está más arriba o más abajo.

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Hola,

Interesante si que son estas opiniones.
Partiendo de la base que no tengo ni pajotera, lo que si tengo es opinión y voy a soltar la mía con bastante verguenza dicho sea de paso… creo que el nombre de la regla de los tercios es un término contemporáneo y muy poco afortunado. La mal denominada ‘Regla de los Tercios’ no es más que una proporción, nada nuevo y muy usada en el arte en general, y el manejo de las proporciones si que pueden ayudar a reforzar el mensaje y a que funcione o no una composición. Nadie sale enseñado, igual que nadie se compra una guitarra y se pone a tocarla, esperando a que algún dia suene bien. En la fotografía sucede lo mismo, y el estudio de la línea, el punto, el movimiento, el color, las proporciones (Pareto, Aurea, tatami…) nos ayudan a que una composición funcione. No podemos esperar que dándole al disparador solamente una fotografía conmueva. Ha de haber un estudio detrás. Resumiendo… yo diría que si deberíamos fiarnos de la regla de los tercios como ayuda compositiva pero no deberíamos llamarla de esta manera .Que yo sepa, ningún pintor clásico menciona la Regla de los tercios, si en cambio, hablan de proporciones que es a lo que se aproxima la definición de la Regla. Saltarse las reglas… qué reglas?

Salu2.
Albert .

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Totalmente de acuerdo. Hay que estudiar esos temas (a mí me falta mucho) para aprender a manejarlos. No se trata de “o regla de los tercios o nada de composición”. Los “tercios”, como recurso compositivo puede ser muy eficaz. El problema viene cuando se convierte en un requisito, o una lista que hay que completar para que la foto esté “bien”: el punto en los tercios, el horizonte, la mirada, el punto negro y el punto blanco, etc.

Pues yo el hilo lo había comenzado para indagar sobre el origen de la proporción 3:2 y la regla de los tercios empleada en fotografía, que parece que no se emplea en otras artes hoy en día o al menos no se hace tanto hincapié.

La explicación que muchas veces te dan es que era una aproximación del número áureo (mala aproximación 1,5 frente a casi 1,62). La verdad dudo mucho que los que construían las pantallas de enfoque para encuadrar no pudieran hacer una mejor aproximación (1,6 o 16:10 como hay algunos monitores) o que no pudieran construir un negativo con una relación más aproximada.

De ahí que pensara que esa relación viene de otro origen, otros números mágicos bastante utilizados en otros ámbitos y en el mundo griego.

No sé si alguien puede aportar algo en relación a eso.

Vosotros lo lleváis hacia otros aspectos también muy interesantes: si esas reglas están ahí para cumplirse o no, si son culturales…

Yo no soy ni mucho menos un experto ni he estudiado arte o las reglas del arte a fondo.

Pero mi impresión coincide bastante con lo que comenta Jasu.
Muchas veces se dice que lo de la proporción áurea es así porque que si la fisonomía humana, que si el cerebro…

La verdad lo dudo mucho, de hecho por lo que leí, los experimentos psicológicos realizadas contradicen buena parte de las reglas empleadas en el arte o en la forma en que se dice que vemos una fotografía o dónde nos fijamos primero.
Algunas de las cosas sí parecen ser una norma general (que nos fijamos antes en las partes con brillo por ejemplo) pero muchas otras no se han confirmado.

Y además es difícil hacer estos experimentos sin sesgo, puesto que el observador siempre tiene un acerbo cultural detrás.

Yo tengo la impresión que buena parte de esas reglas son simplemente culturales, basadas en determinadas creencias y misticismos que se extrapolan al mundo del arte.

El número Phi está presente en la naturaleza (de forma aproximada) en muchas cosas, pero también muchos otros números, el pi, el e, etc. etc.

Los antiguos eran muy dados a las creencias místicas y la numerología y muchas veces eso lo extrapolan al arte.

Está bien usar esas reglas para componer y jugar con las proporciones siguiendo una determinada tendencia o estilo, nos ayuda a pensar en ello y podremos imitar como digo un estilo determinado.

Pensar que eso es algo inherente a la percepción humana y que tiene que ser así por mandato divino, es lo que no acabo de ver.

Muchas veces leo justificaciones de una foto diciendo que lo puse aquí por que sigue no sé que regla (cuando alguien critica que ve demasiado espacio vacío) y muchas veces eso es completamente forzado. Sólo verás esa regla si superpones una plantilla.
Y encima rara vez coincide a la perfección (entonces te vienen con eso de bueno, aproximado).

Tenemos tantas reglas y puntos de interés justificables en fotografía, que casi puedes justificar poner al sujeto donde te de la gana, sobre todo si es “aproximado”.
Fuera del centro y en una amplia zona tenemos los puntos de la regla de los tercios, los de las proporciones áureas, las intersecciones de los triángulos armónicos, el centro de las espirales áureas (mal llamadas áureas porque sólo serán áureas si están construidas en un fotograma con proporciones áureas y no en formato 3:2, cuadrado o 4:3 como se hace muchas veces dado que los programas te lo ponen en cualquier formato).

Si ponemos una persona fuera del centro siempre tendremos alguno de ellos cerca de su cabeza, su cuello o su ombligo para justificar haberlo puesto ahí.

Pero si me hablas de una espiral áurea y una composición basada en ella, yo espero ver alguna línea en espiral que que aproxime a ella o muchos elementos dispuestos a lo largo de su borde.
Si me hablas de los triángulos armónicos, pues a parte de poner algo en la intersección se espera ver alguna linea que dibuje esos triángulos, una diagonal y otra que se corte en el punto de intersección con dirección al otro vértice.

Como ejercicios y construcciones pensadas siguiendo esas reglas lo veo estupendo (y muy adecuado en fotos por ejemplo de arquitectura).

Pero pensar que nuestro ojo y cerebro hacen todo ese análisis a la hora de ver la foto y encontrarse con una foto que le satisfaga o no, pues no lo veo tan claro.
Y si se lo enseñas a un hindú o un chino pues seguramente lo verá menos claro aún.

MENUDO ROLLO me ha quedado xD xD

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Vaya, parece que hemos destapado a caja de Pandora…
Insisto que en el aprendizaje artístico, nadie habló (por lo menos hasta finales del siglo pasado) de nada parecido a la regla de los tercios, que, como cita Ariznaf, estaba ya presente en las pantallas de enfoque de aquellas reflex. Pero, si mal no recuerdo, había pantallas con todo tipo de ayudas para el enfoque y la composición; supongo que dividir una en tercios no fue sino un recurso comercial fácil de aplicar (hacerlo con la sección áurea es bastante más complicado de interpretar).
Por otra parte, a lo largo de la historia del arte los modelos compositivos han ido variando de acuerdo con modas y conveniencias, empezando por las siete cabezas, siete y media u ocho, de la escultura griega.
Por lo demás, algunos puntos interesantes en los que apoyarnos coinciden con los señalados por la escuela de la Bauhaus, hace ahora un siglo. Si bien no han sido refrendados por la ciencia, parecen bastante sólidos, al menos intuitivamente. Solo que… tampoco sirven de mucha ayuda.
Al final vana tener razón mis profesores de aquellos tiempos: “aprende mirando humildemente las obras de los grandes maestros e intenta aprender de ellas”.
Vale; ¿y quién dice quién es un gran maestro? Pues eso, otra vez…

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:smiley: “¡Pero pa que dices na! ¡Es que no puedo estar tranquilo contigo! ¡Tol dia maquinando maldades!” :smiley:

La composición por tercios és la única que veo. La proporción áurea, la espiral, los triangulitos, etc. me parecen ideas para filósofos, pensadores y post-tocadores de fotos.

Son ideas compositivas como el espacio vacío / aire, el centro de la foto, etc. que visualmente funcionan pero que su utilización o no, no implican genialidad ni mediocridad.

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En este enlace del blog Oscar en fotos, hace un recorrido histórico por la proporción aúrea y la regla de los tercios. Creo que se acerca bastante a lo que te preguntas sobre cómo ha acabado llegando a considerarse una “norma” en fotografía.

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Se ha lanzado una pregunta al foro y debe ser contestada. Veremos donde acaban las respuestas.

Por lo que a mi respecta solo se puede (y se debe) responder desde un punto de vista subjetivo, personal, basado en la experiencia y en mi visión de como entiendo la fotografía.
Y mi respuesta es no. No es una chapuza. Y lo mejor, no puedo demostrarlo. Pero puedo aportar algunas ideas basadas en lo aprendido y puedo decir en que se apoya mi visión de la fotografía, que al fin y al cabo no es otra cosa, que el resultado de mis reflexiones sobre, al menos, dos aspectos que me han llevado hasta ella (tengo mas…).

3. f. Proporción y correspondencia de unas cosas con otras en el conjunto que componen.

Y esa definición tiene una nexo de unión, como se verá mas adelante (1) y que cierra el círculo de mi comprensión de la estética. Al final las normas y las reglas solo sirven, si sirven para el propósito de facilitarme la labor para conseguir esa armonía. Sean conocidas o ignoradas, postuladas o demostradas, para mi es irrelevante.

Es un hecho científico que El ser humano tiene visión binocular, y un órgano como el cerebro que interpreta esa visión. No creo que sea discutible, que nuestra visión natural del mundo es binocular y horizontal. Eso marca una determinada manera de acercarnos a ese mundo cuando pretendemos representarlo.

¿Seria descabellado pensar que la diferencia entre altura y anchura ayuda al cerebro a situarse con comodidad en esa horizontabilidad de la visión binocular? ¿Y que eso ya dio argumentación suficiente para que las reglas y normas fueran apareciendo en nuestro cerebro, para facilitarnos llegar a esa comodidad (armonía)?

¿Sería entonces lógico suponer que cualquiera que represente la realidad en formato vertical o esta loco o esta haciendo una chapuza?.

Si el ángulo de visión de ambos ojos en su totalidad (incluyendo la visión periférica) tiene equivalencia con un objetivo de 24 mm en formato FF (en digital) o 24x36 (en película argéntica), ¿cualquiera que no use esa focal, esta haciendo una chapuza?

Voy acabando, pero antes permitirme que hable de una teoría: La Teoría de la Forma Gestalt que enlaza con el punto anterior (1)

Extraigo unas lineas que me parecen muy interesantes y que a mi particularmente, me cambiaron mi concepción respecto a la composición, entendida como una herramienta del lenguaje fotográfico.

“La teoría moderna gestáltica propone un planteamiento holístico de la percepción, basado en el principio de que el todo es mayor que la suma de sus partes, y de que al contemplar una escena o una imagen completa, la mente da un salto repentino desde el reconocimiento de los elementos individuales al entendimiento de toda la escena.”

Luego…las leyes de organización de los elementos que componen una imagen, deben ser situados conforme a ese planteamiento, para que la experiencia del observador sea completa y afin a la idea de su creador.

Discrepo sobre algunas de las afirmaciones respecto a la existencia de literatura científica sobre composición, existe y es abundante. Algunas son experimentales, esta muy estudiado tanto por psicólogos del comportamiento y por ende por diseñadores de productos, y publicistas, como nuestros ojos siguen determinados patrones (colores, lineas, volúmenes) y como estos son utilizados, para conseguir que el consumidor adquiera el producto. ¿Eso no tiene que ver con la composición?

En Fotografía siempre hay un discurso entre autor y espectador de cualquier obra gráfica. Si el lenguaje sigue algunos de esos patrones, la comunicación se establece entre ambos y el mensaje se transmite. No seria posible si no existieran, reglas y normas que faciliten esa transmisión del mensaje y en eso y otros elementos consiste la composición.

¿Y que ocurre si no se siguen estos patrones y nos alejamos de la estética y de la armonía y entramos en el mundo de las emociones, cual es el lenguaje visual y en que nos apoyaremos?

Nadie lo sabe. Depende en gran manera de la genialidad del creador, de su originalidad y capacidad de asombrar al espectador y depende mucho de la cultura del este, para que se establezca esa comunión. A veces se produce el milagro. A veces se crea otro lenguaje, y descubrimos otra forma de comunicarnos y transmitir ese mensaje.

Perdón por el tocho.

Saludos.

Nota: Parte de lo que comento provine de lo aprendido de multitud de autores y libros, pero en especial de Michael Freeman que me dio un montón de herramientas con las que mejorar desde su libro “El ojo del Fotógrafo” ( Ed. 2008 Blume). Y sobe todo de cantidad de anotaciones de mis fracasos.

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Muy completo y acertado.

Sí, ya he dicho que los postulados de la Bauhaus parecen, intuitivamente, bastante correctos, pero solo dentro de nuestra propia cultura y sin posterior refrendo científico. Es una pena, pero en cuanto al conocimiento de la percepción humana se ha avanzado muy poco en las últimas décadas, incluso en lo que a la percepción del color se refiere. Por cierto, que tengamos dos ojos paralelos mirando al frente, en lugar de ojos con mayor campo visual como las aves, uno a cada lado, parece responder a un avance evolutivo, una visión estereoscópica, muy preparada para apreciar la profundidad.

Es que no creo que eso sea relevante para mi. Lo que me interesa es lo que me funciona para transmitir el mensaje. Que este o no refrendado por la comunidad científica… no es garantía alguna, si a mi no me funciona. Como no soy científico, ni artista, ni académico, la única manera de abordar mi visión fotográfica es de forma subjetiva y es así como lo he hecho.

Si mis imágenes te emocionan (como hicieron conmigo cuando las tome) y además coincide que hay unas reglas compositivas (las que sean), que apoyan que te emociones al verlas. Miel sobre hojuelas.
Como yo si creo que esas reglas ayudan a conseguir ese dialogo autor-espectador, por eso las uso, y no las considero chapuza de ninguna de las maneras, aunque la comunidad científica, manifestara que lo son (que no lo dice) mientras me funcionen, las seguiría usando.

Saludos.

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Teorías sobre lo que resulta armónico al ser humano hay muchas.

Sólo que todas diferentes.
Los primeros filósofos griegos usaban relaciones numéricas sencillas de números enteros (de ahí creo el 3:2 que además son de los premeros número de la serie de Fibonnacci).

Luego las del renacimiento, pero también los hindús tienen las suyas, los chinos, etc, etc.

Ahora bien, para que una teoría sea tal, tiene que venir acompañada bien de una demostración irrefutable, o de una comprobación empírica mediante experimentos controlados y bien pensados.
Si no no son teorías, son hipótesis, o bien principios fundamentales (no demostrables pero asumidos como verdad y que no se contradicen con los resultados que de ellos se derivan).

Y esto es lo que pasa con todo el tema de la composición.

Los griegos y renacentistas y muchos otros han adoptado determinadas hipótesis o suposiciones como ciertas simplemente porque se correspondían con su visión del mundo.

Por lo que he leído sobre el tema, ningún experimento científico ha conseguido demostrar la mayoría de las cosas que se asumen como “verdad” en el mundo del arte.
Más bien al contrario: los experimentos hechos por psicólogos no han encontrado correlación clara entre lo que el observador asume como placentero y el número áureo u otras proporciones. Lo mismo con algunas de las cosas que afirmamos sobre por dónde empezamos a mirar la foto y demás.

Pero claro si le preguntas a gente con una formación en arte donde toda su vida ha estudiado que lo perfecto y la composición perfecta es la relación áurea, ahí si que encontrarás una clara tendencia a escoger las imágenes que siguen esas proporciones como las más plecenteras: simplemente les han educado en ello, así como a la mayoría de los aficionados del mundo occidental.
Simplemente estás haciendo un experimento sesgado.
Es como concluir que la forma natural de escribir es de derecha a izda y de arriba a abajo, si le preguntas a gente occidental.

Eso tampoco tiene nada de malo, el arte es una forma de expresión y también puede seguir sus convenciones lógicamente, sólo que hoy día hay más de una y no tiene por qué ser una superior a otra.

Una prueba clara de que no es cierto que la proporción áurea sea algo innato es el hecho de que muchas de esas composiciones alabadas por seguir la composición áurea, en realidad no lo son.

Como ya he comentado, sólo podrá haber esa perfección áurea si el formato de la imagen tiene relación áurea (aprox 16:10).
Si resulta que alabamos la maravillosa composición de la espiral áurea y en realidad es el formato 3:2 o cuadrado, pues ya no hay espiral áurea por ningún lado y se derrumba todo el castillo de naipes.

Es entonces cuando empezamos a hablar de aproximaciones y que si es aproximado. Pero resulta que si nos vale lo mismo 3:2 que 16:10 pues entonces lo mismo vale el punto de intersección de los tercios que el centro de la espiral, que el de intersección de las lineas de los triángulos armónicos que el de las lineas de proporciones áureas…
y entonces ¿de qué estamos hablando?
Si la aproximación es tan grosera y nos vale casi cualquier cosa ¿cómo hemos llegado a la conclusión de que es precisamente el número áureo el número mágico?

Hay muchos fenómenos físicos de origen muy diferentes que siguen determinados patrones o donde determinados números adquieren importancia (raíz de 2, raíz de 3, el número áureo, el número e, los números primos…)
Simplemente cuando se dan determinados fenómenos que comparten determinadas pautas de comportamiento la solución matemática pasa por esos números.

Pero que el crecimiento de las hojas de las plantas siga una espiral áurea, o que la proporción entre la población de conejos cruzando parejas entre una generación y la anterior tienda al número áureo nada tiene que ver con lo que pueda gustar o no al ser humano.

De hecho no creo que haya ninguna proporción fija ni reglas concretas, no somos tan precisos, nos conformaremos con pautas bastante groseras y en ellas influirán de forma muy importante nuestra herencia cultural.
Es interesante ver en esta imagen sacada del blog de Oscar las diferentes ubicaciones de los diferentes puntos de interés según el criterio que utilicemos.
Todos ellos argumentables y justificables, pero claramente separados entre sí.

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Cualquier lenguaje (y la fotografía es uno de ellos) necesita unas “estructuras” (equivalentes a la sintaxis del lenguaje escrito) que sean aceptadas y usadas por los que usan dicho lenguaje para facilitar la comunicación. Estas estructuras se van implementando a lo largo del tiempo y del uso, y así nacen unas nuevas y desaparecen temporal o definitivamente otras, pero siempre existen porque las necesitamos, somos nosotros las que las creamos y nos sirven para regular los usos de dicho lenguaje. Son fruto de la práctica, pero también de la genialidad de algunos que las aportan a la comunidad y ésta acaba aceptando. En resumidas cuentas, es algo vivo que evoluciona con el tiempo y que varía con las culturas.
Nosotros, inmersos en una cultura occidental, apreciamos y comprendemos mejor las nuestras y nos resultan más extrañas las de otras culturas o civilizaciones (no se pintaba igual en Europa que en Japón). Hoy en día todo se va homogenizando porque quedan pocas culturas aisladas y, no lo olvidemos, el efecto de internet ha sido demoledor. Si a esto le añadimos que la comunicación pretendemos que sea “artística”, la cosa se complica bastante.
Estoy de acuerdo con los que opináis que no son estructuras fisiológicamente determinadas sino culturalmente condicionadas, aunque no olvidemos que somos un puñado de neuronas interconectadas y en este tema algo tienen que decir.

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Muy interesante el artículo, tendré que repasarlo con más atención y tiempo.

Aunque hay algunas afirmaciones que se cuelan (sobre todo al principio) que no son correctas.

Se dice que Pitágoras amaba el número áureo.

No es cierto, Pitágoras no conocía los números irracionales.
Es más luchó denodadamente contra la existencia de dichos números.
Se pasaron mucho tiempo tratando de buscar la relación entre la diagonal y el lado de un cuadrado.
Buscaban el número racional que conformaba esa relación.

Cuando al fin uno de sus discípulos demostró que no podía ser un número racional (en realidad no se sabe si la demostración es suya o la obtuvo de otro lado, pero sí fue quien la dio a conocer) no se lo tomaron a bien.
Los pitagóricos pretendían esconder esa realidad, ya que iba contra toda su doctrina de la perfección.
Hasta tal punto de que mataron a dicho discípulo. En realidad no se sabe si efectivamente lo mataron o lo desterraron y prohibieron mencionar su nombre. Lo que sí es seguro es que hicieron una tumba con su nombre como indicación de que para los pitagóricos estaba muerto.

En el mundo de la música el número mágico es 3:2 que es una de las fracciones sencillas que los pitagóricos usaban para todos.

En música el número áureo no tiene significado, dos notas en frecuencias con relación áurea son un horror. Han de seguir la relación 3:2 o las derivadas de esa relación para sonar armónicas.

Una prueba de que lo que en un campo puede funcionar a la perfección y tener un sentido físico, pero en otro campo no tener ninguno.
Nadie ha demostrado que el número áureo aplicado a una imagen provoque algo similar a dos notas de quintas sonando juntas, lo que sí es demostrable y explicable.

El hecho de que en una composición podamos encontrar el número Phi, no implica para nada que el artista lo haya utilizado conscientemente en su composición. Sólo cuando se encuentra mención expresa a él podemos estar seguros de que lo conocían.

Pitágoras construía cuadrados (y cualquier niño) y enunció su famoso teorema sin conocer los números irracionales ni la raíz de dos.
Construían sus pentágonos regulares y todo el misticismo a su alrededor sin conocer el número áureo.
Construían círculos e inscribían pentágonos, pero tampoco conocían el número Pi.

Los griegos no conocían por qué dos notas eran armónico, y no conocían los desarrollos en serie armónica, ni siquiera sabían en qué consistía el sonido, pero sí sabían que dos notas emitidas por dos cuerdas con esa relación de longitudes sonaban muy bien juntas.

Así que no asumamos que por que podamos encontrar determinadas relaciones en las pirámides de Egipto o en otras construcciones, sus constructores hubieran descubierto determinados secretos matemáticos.

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No su visión del mundo, sino de la naturaleza. El estudio de las formas naturales. Ahí está la belleza, en determinar porque es bella una caracola, o una rosa, porqué se repiten constantemente esas formaciones… Porqué una cosa es bella, porqué los claustos no son redondos…

Salu2.
Albert .

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Su interpretación o la nuestra de la naturaleza.

En la naturaleza no sólo está el número áureo. En realidad de hecho nunca está, puesto que no hay nada en la naturaleza que se acerque a formas perfectas.

Sólo en la abstracción matemática y en la interpretación y simplificación de las formas naturales y de los procesos naturales aparecen esas relaciones perfectas.

Pero igual que está el número áureo, está la raíz de dos, el número e y muchos otros números racionales e irracionales.

Los claustros no son redondos, por una determinada evolución cultural.
En otras culturas sí que hay más formas redondas, por ejemplo en las construcciones celtas.

El círculo también está presente en la naturaleza y tiene su sentido que un vallado o casa se emplee el círculo: ha igualdad de área el círculo es la figura que tiene menor perímetro.
Luego para encerrar un número de ovejas determinado que ocuparán un área dada, es como necesitarás menos ladrillos.

Eso sí, no encajarán entre sí y desaprovecharás superficie, por lo que en una ciudad no sería muy práctico para aprovechar el terreno.

La naturaleza es diversa y diversas son sus reglas, proporciones y demás.

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Querría aportar también mi punto de vista, así que si me permitís que vuelva al comienzo y haga poco más que un refrito de cosas que ya habéis dicho…

De entrada, entiendo la regla de los tercios como una estructura base que permite, de manera sencilla, generar una imagen en la que hay:

  • Razones (ratios o relaciones) sencillas que resultan armoniosas por su simplicidad: si un objeto o una línea está en una línea vertical de la rejilla de tercios, el espacio que deja a un lado entra justo dos veces en el espacio al otro lado y tres veces en la distancia total entre márgenes; aparecen, por tanto, razones 1:2, 1:3 y 2:3, que nuestro cerebro reconoce con facilidad.
  • Proporciones (igualdad de razones) que se producen por construcción: si algo está en un punto de corte de la rejilla de tercios, la separación que hace entre arriba y abajo es proporcional a la que hace entre izquierda y derecha. Para esto no hace falta que la foto tenga formato 3:2, pero, si lo tiene, se añade esa proporcionalidad extra.

Naturalmente, hay más maneras de generar razones sencillas y, más importante aún, proporciones entre los elementos de la composición. Lo interesante de la regla de los tercios es que es sencilla y efectiva. No necesitamos mucha más complejidad que esa para tener un resultado que “funciona” por sus relaciones armónicas. Se podrán conseguir efectos más sutiles de otras maneras, pero para eso ya hace falta un grado mayor de conocimiento y un ojo artístico más entrenado.

Si nos fijamos en las frecuencias de las notas no, pero en los ritmos musicales sí podemos encontrar un paralelismo interesante en cuanto a razones y proporciones:
En una gran parte de la música occidental, sobre todo la popular, los ritmos se basan en subdivisiones sencillas del pulso musical: Mitades sucesivas, quizá una subdivisión en tercios (compás ternario, tresillos…) y generalmente no mucho más. Pocas cosas hay más simples que los ritmos del pop y el rock, ¡pero funcionan!
En músicas de origen africano, como la rumba cubana, aparecen varias relaciones sencillas pero diferentes entre sí superpuestas unas con otras (polirritmos), que dan lugar a relaciones más complejas, más difíciles de reconocer por un oído no entrenado, pero que guardan cohesión interna e invitan a moverse incluso a quien no es capaz de encontrar conscientemente el patrón rítmico (y, por tanto, “funcionan”).
Y en jazz y otras músicas “recientes” aparecen ritmos algo más sutiles como el swing, que algunos aproximan como 2:3, otros como 3:5 o 4:7 y algunos incluso igualan a la razón áurea de la que hablabas.
Aquí hay algunos ejemplos en audio.

El número áureo no tiene nada que ver con la serie que dices para los ritmos.

El número áureo procede de la serie de Fibbonacci.

En la duración de las notas se usan relaciones que son múltiplos o divisores de dos, cada duración es el doble o mitad de la anterior, es decir: una progresión geométrica de base 2 (muy similar a contar en binario como se hace en el mundo de la informática).

En los ritmos se usan bases que son números enteros sencillos como 2,3 o 4 pulsos por compás donde en cada pulso entrará una nota de una duración determinada (negra=4, corchea=8, blanca=1, etc).
Tampoco eso tiene que ver con el número áureo.

Conozco ritmos algo menos habituales como el 7:8 (7 corcheas en un compás), por supuesto el 3:8 o el 6:8, pero ritmos 4:7 no los conocía.

¿A qué hace referencia el 7? ¿Qué duración de nota es esa?
Los tresillos sí, claro, pero no es más que pasar a subdivisión ternaria temporalmente.

Un 2:4 con tresillos no sería más que un 6:8 en realidad.
Los cinquillos sí que los conocía aunque son bastante más raros.

En cualquier caso lo que comentas no hace más que venir a confirmar que no existe una única relación o proporción que resulte agradable al ojo (o al oido) humano, que hay muchas formas de expresar o generar cierta armonía y que en realidad en gran parte es cultural.

Creo que es muy buena conclusión.

Salu2.
Albert .

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